Calcolatore modulo: resto della divisione e aritmetica modulare

Calcola il modulo (il resto) di una divisione con numeri negativi e decimali, più operazioni modulari, inverso, congruenze e valore assoluto. Resto con decimali e numeri negativi, operazioni modulari, inverso, congruenze e valore assoluto, con i passaggi.

Modulo comune:
Risultato
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Che cos’è il modulo di una divisione

Il modulo (in inglese modulo o mod) è l’operazione che restituisce il resto della divisione tra due numeri interi. Dividere 17 per 5 dà quoziente 3 e resto 2, perché 5 × 3 = 15 e a 17 mancano 2: si scrive 17 mod 5 = 2. In formula, dati un dividendo a e un divisore n, il resto r soddisfa a = n × q + r, con 0 ≤ r < n.

Per calcolarlo a mano si divide, si prende la parte intera del quoziente, si moltiplica per il divisore e si sottrae da a. Il calcolatore nella scheda «Resto» fa esattamente questo e mostra ogni passaggio, anche con numeri molto grandi o con la virgola.

a mod nQuozienteRestoVerifica
17 mod 5325 × 3 + 2 = 17
100 mod 71427 × 14 + 2 = 100
365 mod 75217 × 52 + 1 = 365
2026 mod 121681012 × 168 + 10 = 2026
−7 mod 3−323 × (−3) + 2 = −7
−17 mod 5−435 × (−4) + 3 = −17
45 mod 6004560 × 0 + 45 = 45
1000 mod 24411624 × 41 + 16 = 1000

Modulo con numeri negativi e con la virgola

Con i numeri negativi non tutti sono d’accordo su quale sia «il» resto. In matematica il resto è sempre compreso tra 0 e n − 1, quindi −7 mod 3 = 2 (perché −7 = 3 × (−3) + 2). Nei linguaggi di programmazione le cose cambiano: in C, C++, Java e JavaScript l’operatore % è il resto troncato e il segno segue il dividendo (−7 % 3 dà −1); in Python l’operatore % è il resto floor e il segno segue il divisore (−7 % 3 dà 2); in Excel e in Fogli Google la funzione MOD si comporta come in Python. Quando le convenzioni danno risultati diversi, il calcolatore le mostra in una tabella a confronto, così sai quale usare.

Il resto si può calcolare anche con i numeri decimali: 7,5 mod 2 = 1,5 perché 7,5 = 2 × 3 + 1,5. Per evitare gli errori di arrotondamento dei numeri in virgola mobile (in molti linguaggi 0,3 % 0,1 non dà 0), il calcolatore trasforma i decimali in interi equivalenti e lavora in modo esatto.

Aritmetica modulare: somma, prodotto, potenza, inverso

Due numeri sono congrui modulo n se hanno lo stesso resto nella divisione per n: si scrive a ≡ b (mod n). Con le congruenze si può calcolare «a resti», perché la somma, la differenza e il prodotto si possono fare prima o dopo la riduzione modulo n senza cambiare il risultato. Per esempio 7 × 8 = 56 e 56 mod 13 = 4; ridotti prima, 7 × 8 resta 7 × 8 e il risultato è lo stesso.

La potenza modulare a^b mod n si calcola con il metodo dei quadrati ripetuti, che riduce modulo n a ogni passo: per questo si può trovare 7^1000 mod 13 senza mai scrivere la potenza intera, che avrebbe quasi novecento cifre. È il calcolo alla base della crittografia RSA.

L’inverso modulare di a modulo n è il numero x per cui a × x ≡ 1 (mod n). Esiste solo se a e n sono coprimi (MCD uguale a 1) e si ottiene con l’algoritmo di Euclide esteso, che il calcolatore mostra passo per passo. Se il MCD è diverso da 1 il calcolatore te lo segnala e spiega perché l’inverso non esiste.

Congruenze lineari ax ≡ b (mod n)

Risolvere ax ≡ b (mod n) significa trovare gli interi x per cui a·x e b hanno lo stesso resto modulo n. Sia d il MCD di a e n. Se d non divide b l’equazione non ha soluzioni; altrimenti ce ne sono esattamente d modulo n, tutte distanziate di n/d. Nel caso più comune, con d = 1, la soluzione è unica. Esempio: 3x ≡ 4 (mod 7) ha come soluzione x ≡ 6, perché 3 × 6 = 18 e 18 mod 7 = 4.

A che cosa serve il modulo

Modulo come valore assoluto

La parola «modulo» indica anche un’altra cosa: il valore assoluto, scritto |x|, cioè la distanza di un numero da zero. |−4,5| = 4,5. Per un numero complesso a + bi il modulo è √(a² + b²) e rappresenta la distanza dall’origine nel piano di Gauss; per un vettore di componenti (x, y) o (x, y, z) è la sua lunghezza, calcolata con lo stesso criterio. La scheda «Valore assoluto» calcola tutti questi casi.

Se ti serve fare altro con i numeri puoi passare alla calcolatrice per MCD e mcm o alla scomposizione in fattori primi, strettamente legate al calcolo dei resti.

Domande frequenti

Come si calcola il modulo (il resto) di una divisione?
Si divide il primo numero per il secondo e si prende ciò che «avanza» dopo aver tolto il maggior numero intero di volte il divisore. Per 17 mod 5: 5 sta 3 volte in 17 (3 × 5 = 15), avanzano 2, quindi 17 mod 5 = 2. In formula: r = a − n × q, con r compreso tra 0 e n − 1.
Che cosa significa «mod» e che simbolo si usa?
«mod» è l’abbreviazione di modulo e indica il resto della divisione intera. Nei linguaggi di programmazione l’operatore è quasi sempre %, in Excel e Fogli Google è la funzione MOD(numero; divisore), in matematica si scrive a mod n oppure a ≡ r (mod n).
Come si calcola il modulo di un numero negativo?
Dipende dalla convenzione. In matematica il resto non è mai negativo: −7 mod 3 = 2, perché −7 = 3 × (−3) + 2. In C, Java e JavaScript l’operatore % dà invece −1 (il segno segue il dividendo), mentre in Python e in Excel il risultato prende il segno del divisore. Il calcolatore mostra le tre convenzioni quando differiscono.
Come si calcola il modulo con la virgola (numeri decimali)?
Si procede come per gli interi: si cerca il quoziente intero q tale che r = a − n × q sia compreso tra 0 e n. Per 7,5 mod 2: q = 3, r = 7,5 − 6 = 1,5. Il calcolatore lavora con aritmetica esatta anche sui decimali, quindi evita gli errori di arrotondamento tipici dei numeri in virgola mobile.
A che cosa serve l’aritmetica modulare?
Serve ogni volta che qualcosa si ripete in cicli: i giorni della settimana (mod 7), le ore dell’orologio (mod 12 o 24), le cifre di controllo del codice fiscale e dell’IBAN, gli indici circolari di un array in programmazione, gli hash e la crittografia a chiave pubblica (RSA).
Che cos’è l’inverso modulare?
L’inverso di a modulo n è il numero x tale che a × x ≡ 1 (mod n). Esiste solo se a e n sono coprimi, cioè se il loro massimo comun divisore è 1. Per esempio l’inverso di 3 modulo 7 è 5, perché 3 × 5 = 15 e 15 mod 7 = 1. Si trova con l’algoritmo di Euclide esteso.
Come si risolve una congruenza lineare ax ≡ b (mod n)?
Si calcola d = MCD(a, n). Se d non divide b non ci sono soluzioni; altrimenti ce ne sono d, distanziate di n/d. Se d = 1 la soluzione è unica: x ≡ b × a⁻¹ (mod n). Nella scheda «Congruenza» il calcolatore mostra anche i passaggi.
Qual è la differenza tra modulo e valore assoluto?
Sono due cose diverse con lo stesso nome. Il modulo come operazione è il resto di una divisione (17 mod 5 = 2). Il modulo come valore assoluto, scritto |x|, è la distanza di un numero da zero (|−4| = 4); per un numero complesso o un vettore è la radice della somma dei quadrati delle componenti. La scheda «Valore assoluto» calcola entrambi.
Posso usare numeri molto grandi?
Sì, fino a 400 cifre. I calcoli usano numeri interi di precisione arbitraria nel tuo browser, quindi anche potenze come 7^1000 mod 13 sono immediate: l’esponenziazione modulare non calcola mai la potenza intera.
I numeri che inserisco vengono inviati a un server?
No. Tutti i calcoli avvengono nel tuo browser; nessun dato viene inviato o conservato.

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